حل عددی معادله بلک-شولز با استفاده از روش های تفاضلات متناهی و بررسی آنالیز پایداری آن

مسایل مالی یکی از زمینه هایی است که بیشترین رشد و تغییر را در تجارت جهانی دارند و اختیارات مالی بیشترین استفاده را در زمینه امور مالی دارند. طی دهه گذشته، تحقیق در رابطه با قراردادهای اختیار از ارزش بالایی برخوردار بوده است. انواع مختلفی از مدل های ریاضی برای قیمت گذاری اختیارات وجود دارد که مهم ترین آنها مدل قیمت گذاری اختیارات بلک-شولز است. در سال 1973، فیشر بلک، میرن شولز و رابرت مرتون قیمت گذاری اختیارات را گسترش دادند و مقاله ای با عنوان «قیمت گذاری اختیارات و بدهی های سهام» در ژورنال مربوط به سیاست های اقتصادی منتشر کردند. ایده اصلی بلک و شولز در رابطه با ساختار اوراق بهادار بدون ریسک با به کارگیری شرایط مرزی، قیمت اختیار و سهام قرار داشت. مدل بلک –شولز نقش اساسی و محوری در موفقیت مهندسی مالی در دهه های 1980 و 1990 داشته است. «میرن شولز» و «رابرت مرتون» در سال 1997 به خاطر اهمیت مدل فوق، موفق به دریافت جایزه نوبل اقتصادی شدند. لازم به ذکر است که معادلات با مشتقات جزئی از جمله معادلات مهم هستند که اغلب در مسائل فیزیکی و محاسبات مهندسی استفاده می شوند ولی تحلیل اکثر این معادلات مشکل می باشد. بنابراین محققین به دنبال حل عدی این معادلات هستند و روش های عددی گوناگونی برای حل این معادلات ارائه کرده اند. از جمله روش های عددی که برای حل مسائل مربوط به قیمت گذاری اختیارات مورد استفاده قرار می گیرد، عبارتند از: مدل دو جمله ای، روش های تفاضلات متناهی و روش شبیه سازی مونتو-کارلو. تکنیک تفاضلات متناهی اولین بار توسط آقای شوراتز برای حل قیمت اختیار سهام به کار برده شد. این روش، معادله دیفرانسیل جزئی بلک-شولز را به وسیله تقریب معادله دیفرانسیل در ناحیه جواب توسط یک دستگاه معادله جبری حل می کرد. متداول ترین روش های تفاضلات متناهی برای حل معادله دیفرانسیل جزئی بلک-شولز عبارتند از: روش ضمنی و روش کرانک-نیکلسون. تفاوت این روش ها در سرعت و دقت اجرایی آن هاست. در فرمول بندی مسایل مربوط به معادله دیفرانسیل جزئی سه موضوع اساسی که باید در نظر گرفت عبارتند از: 1)معادله دیفرانسیل جزئی 2)ناحیه ای از مکان-زمان که معادله در آن جا صدق می کند. 3)شرایط اولیه و مرزی مربوط به مساله این پایان نامه به بررسی پایداری روش تفاضلات متناهی برای حل معادله دیفرانسیل جزئی بلک-شولز می پردازد. در این پایان نامه شبه گسسته سازی روی شبکه های غیریکنواخت با استفاده از روش تفاضلات متناهی مرکزی مرتبه دوم، بررسی می شود.